Geometría Analítica, 2º Bachillerato, Selectividad Comunidad de Madrid EBAU

Selección de ejercicios de EBAU de varias comunidades autónomas ideales para preparar la selectividad. Los ejercicios de 1.1 a 1.10 corresponden a la Comunidad de Madrid

1. 1. Dados los planos π₁≡ 4x + 6y − 12z + 1 = 0, π₂ ≡ −2x − 3y + 6z − 5 = 0, se pide: 

            a) Calcular el volumen de un cubo que tenga dos de sus caras en dichos planos. 

            b) Para el cuadrado de vértices ABCD, con A (2, 1, 3) y B (1, 2, 3), calcular los 

                vértices C y D, sabiendo que C pertenece a los planos π₂ y π₃ ≡ x − y + z = 2.

1. 2. Dados el punto P (1, 1, 1) y las rectas R y S, se pide:

         a) Hallar la distancia del punto P a la recta r. 

         b) Estudiar la posición relativa de las rectas r y s. 

         c) Hallar el plano perpendicular a la recta s y que pasa por el punto P.

1. 3. Se consideran dos vectores U, V y el punto A (-4, 4, 7), se pide:

            a) Determinar un vector w₁ que sea ortogonal a los vectores U y V , unitario y 

                con tercera coordenada negativa. 

            b) Hallar un vector no nulo w₂ que sea combinación lineal de U y V y ortogonal a V. 

            c) Determinar los vértices del paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de 

                los vectores U, V y una de sus diagonales es el segmento OA.

1. 4. Dados el punto P (0, −1, 1) y la recta r, que pasa por el punto Q (1, 0, 1) y tiene como vector director V = (0, 1, 2), se pide:

            a) Hallar la ecuación implícita del plano que contiene a r y pasa por P. 

            b) Encontrar el punto S contenido en r tal que el vector SP sea perpendicular 

                a la recta r. 

            c) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son el punto P y dos puntos T₁, T₂, 

                contenidos en la recta r, que están a distancia √ 5 de P.

1. 5. Considere las rectas r y s dadas por la siguientes ecuaciones:

            a) Estudie la posición relativa de ambas rectas.

            b) En caso de que las rectas se corten, calcule el punto de corte y el ángulo 

                que forman. En caso de que las rectas se crucen, determine el plano que 

                contiene a la recta r y es paralelo a la recta s.

1. 6. Se consideran los puntos A(1, a, 0), B(1, 1, a − 2) y C(1, −1, a).

            a) Comprobar que no están alineados, cualquiera que sea el valor que tome 

                el parámetro a. 

           b) Hallar el área del triángulo que determinan los tres puntos.

1. 7. Considere los puntos P = (5, 6, 1) y Q = (−3, −2, 5), y la recta:

            a) Determine el punto R de la recta r para el cual el área del triángulo P QR es 

                18√ 2 unidades cuadradas (Observación: hay dos puntos R que son solución 

                del apartado a); basta con encontrar uno de ellos.) 

            b) Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q y compruebe 

                que dicha recta corta perpendicularmente a la recta r.

1. 8. Considere la recta y el plano:

            a) Estudie la posición relativa de la recta r y el plano π. 

            b) En caso de que la recta corte al plano, calcule el punto de corte y el ángulo 

                que forman. En caso de que la recta no corte al plano, calcule la distancia 

                entre ambos.

1. 9. Dadas las rectas r, s y el punto P (−1, 2, −1):

             a) Determinar la posición relativa de las rectas r y s. y el punto P (−1, 2, −1)

             b) Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por P y es paralelo a r y a s. 

             c) Calcular el  área del triángulo que tiene por vértices el origen de coordenadas, el                         punto P y el punto P′ proyección de P sobre el plano z = 0.

1. 10. Dados los planos π₁≡ x−2y+3z = 6 y π₂ ≡ 3x−z = 2 y el punto A(1, 7, 1), se pide: 

                a)  Comprobar que π₁ y π₂ son perpendiculares. 

                b) Calcular el volumen de un cubo que tenga una cara en el plano π₁, otra cara 

                    en el plano π₂, y un vértice en el punto A. 

                c) Calcular el punto simétrico de A respecto de π₁.