Geometría Analítica, 2º Bachillerato, Selectividad Comunidad de Madrid EBAU

Selección de ejercicios de EBAU de varias comunidades autónomas ideales para preparar la selectividad. Los ejercicios de 1.1 a 1.10 corresponden a la Comunidad de Madrid

1. 1. Dados los planos π₁≡ 4x + 6y − 12z + 1 = 0, π₂ ≡ −2x − 3y + 6z − 5 = 0, se pide: 

            a) Calcular el volumen de un cubo que tenga dos de sus caras en dichos planos. 

            b) Para el cuadrado de vértices ABCD, con A (2, 1, 3) y B (1, 2, 3), calcular los 

                vértices C y D, sabiendo que C pertenece a los planos π₂ y π₃ ≡ x − y + z = 2.

1. 2. Dados el punto P (1, 1, 1) y las rectas R y S, se pide:

         a) Hallar la distancia del punto P a la recta r. 

         b) Estudiar la posición relativa de las rectas r y s. 

         c) Hallar el plano perpendicular a la recta s y que pasa por el punto P.

1. 3. Se consideran dos vectores U, V y el punto A (-4, 4, 7), se pide:

            a) Determinar un vector w₁ que sea ortogonal a los vectores U y V , unitario y 

                con tercera coordenada negativa. 

            b) Hallar un vector no nulo w₂ que sea combinación lineal de U y V y ortogonal a V. 

            c) Determinar los vértices del paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de 

                los vectores U, V y una de sus diagonales es el segmento OA.

1. 4. Dados el punto P (0, −1, 1) y la recta r, que pasa por el punto Q (1, 0, 1) y tiene como vector director V = (0, 1, 2), se pide:

            a) Hallar la ecuación implícita del plano que contiene a r y pasa por P. 

            b) Encontrar el punto S contenido en r tal que el vector SP sea perpendicular 

                a la recta r. 

            c) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son el punto P y dos puntos T₁, T₂, 

                contenidos en la recta r, que están a distancia √ 5 de P.

1. 5. Considere las rectas r y s dadas por la siguientes ecuaciones:

            a) Estudie la posición relativa de ambas rectas.

            b) En caso de que las rectas se corten, calcule el punto de corte y el ángulo 

                que forman. En caso de que las rectas se crucen, determine el plano que 

                contiene a la recta r y es paralelo a la recta s.

1. 6. Se consideran los puntos A(1, a, 0), B(1, 1, a − 2) y C(1, −1, a).

            a) Comprobar que no están alineados, cualquiera que sea el valor que tome 

                el parámetro a. 

           b) Hallar el área del triángulo que determinan los tres puntos.

1. 7. Considere los puntos P = (5, 6, 1) y Q = (−3, −2, 5), y la recta:

            a) Determine el punto R de la recta r para el cual el área del triángulo P QR es 

                18√ 2 unidades cuadradas (Observación: hay dos puntos R que son solución 

                del apartado a); basta con encontrar uno de ellos.) 

            b) Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q y compruebe 

                que dicha recta corta perpendicularmente a la recta r.

1. 8. Considere la recta y el plano:

            a) Estudie la posición relativa de la recta r y el plano π. 

            b) En caso de que la recta corte al plano, calcule el punto de corte y el ángulo 

                que forman. En caso de que la recta no corte al plano, calcule la distancia 

                entre ambos.

1. 9. Dadas las rectas r, s y el punto P (−1, 2, −1):

             a) Determinar la posición relativa de las rectas r y s. y el punto P (−1, 2, −1)

             b) Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por P y es paralelo a r y a s. 

             c) Calcular el  área del triángulo que tiene por vértices el origen de coordenadas, el                         punto P y el punto P′ proyección de P sobre el plano z = 0.

1. 10. Dados los planos π₁≡ x−2y+3z = 6 y π₂ ≡ 3x−z = 2 y el punto A(1, 7, 1), se pide: 

                a)  Comprobar que π₁ y π₂ son perpendiculares. 

                b) Calcular el volumen de un cubo que tenga una cara en el plano π₁, otra cara 

                    en el plano π₂, y un vértice en el punto A. 

                c) Calcular el punto simétrico de A respecto de π₁.

Ejercicios de Programación Lineal, selectividad.

 PROGRAMACIÓN LINEAL

1. 0. Representa gráficamente la región determinada por el sistema de inecuaciones y calcula sus vértices. ¿Cuál es el mínimo de la función f(x, y) = x – 2 y en esta región? ¿En qué punto se alcanza? 

1. 1. Un taller de confección hace chaquetas y pantalones para niños. Para hacer una chaqueta, se necesitan 1 m de tela y 2 botones; y para hacer unos pantalones, hacen falta 2 m de tela, 1 botón y 1 cremallera. El taller dispone de 500 m de tela, 400 botones y 225 cremalleras. El beneficio que se obtiene por la venta de una chaqueta es de 20 €, y por la de unos pantalones, 30 €. Suponiendo que se vende todo lo que se fabrica, calcula el número de chaquetas y de pantalones que se tienen que hacer para obtener un beneficio máximo.

1. 2. Un taller fabrica dos productos A y B. La producción de una unidad del producto A requiere 30 minutos para montar las piezas que lo forman y 40 minutos para pintarlo y la producción de una unidad del producto B exige 40 minutos para montar las piezas y 30 minutos para pintarlo. Cada día se puede destinar como máximo 10 horas para montar piezas y 11 horas, también como máximo, para pintar los productos producidos. Cada unidad del producto A se vende a 40 euros y cada unidad del producto B se vende a 35 euros. ¿Cuántas unidades se han de producir cada día de cada producto para obtener el máximo ingreso? ¿Cuál es dicho ingreso máximo?

1. 3. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes del tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los del tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 € por cada paquete que venda del tipo A y 5 € por cada uno que venda del tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste.

1. 4. Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con 500 €. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 0,5 € el kg y las de tipo B a 0,8 € el kg. Sabemos que solo dispone en su furgoneta de espacio para transportar 700 kg de naranjas como máximo y que piensa vender el kilo de naranjas de tipo A a 0,58 € y el de tipo B a 0,9 €. ¿Cuántos kilogramos de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener beneficio máximo?

1. 5. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. La unidad del tipo A se hace con 1 g de oro y 1,5 g de plata y se vende a 25 €. La de tipo B se vende a 30 € y lleva 1,5 g de oro y 1 g de plata. Si solo dispone de 750 g de cada metal, ¿cuántas joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

1. 6. Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de aves una dieta mínima que consiste en 3 unidades de hierro y 4 unidades de vitaminas diarias. El granjero sabe que cada kilo de maíz proporciona 2,5 unidades de hierro y 1 de vitaminas y que cada kilo de pienso compuesto proporciona 1 kilo de hierro y 2 de vitaminas. Sabiendo que el kilo de maíz vale 0,3 € y el de pienso compuesto 0,52 €, se pide: a) ¿Cuál es la composición de la dieta diaria que minimiza los costes del granjero? Explica los pasos seguidos para obtener la respuesta. b) ¿Cambiaría la solución del problema si por escasez en el mercado el granjero no pudiera disponer de más de 1 kilo diario de pienso compuesto?. Razona la respuesta.

1. 7. Una fábrica de piensos para animales produce diariamente como mucho seis toneladas de pienso del tipo A y como máximo cuatro toneladas de pienso del tipo B. Además, la producción diaria de pienso del tipo B no puede superar el doble de la del tipo A y, por último, el doble de la fabricación de pienso del tipo A sumada con la del tipo B debe ser como poco cuatro toneladas diarias. Teniendo en cuenta que el coste de fabricación de una tonelada de pienso del tipo A es de 1000 euros y el de una tonelada del tipo B de 2000 euros, ¿cuál es la producción diaria para que la fábrica cumpla con sus obligaciones con un coste mínimo? Calcúlese dicho coste diario mínimo.

1. 8. Un pintor necesita pintura para pintar como mínimo una superficie de 480 m2 . Puede comprar la pintura a dos proveedores, A y B. El proveedor A le ofrece una pintura con un rendimiento de 6 m2 por kg y un precio de 1 euro por kg. La pintura del proveedor B tiene un precio de 1,2 euros por kg y un rendimiento de 8 m2 por kg. Ningún proveedor le puede proporcionar mas de 75 kg y el presupuesto máximo del pintor es de 120 euros. Calcúlese la cantidad de pintura que el pintor tiene que comprar a cada proveedor para obtener el mínimo coste. Calcúlese dicho coste mínimo.

1. 9. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades del mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 150 € por electricista y 120 € por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio?

1. 10. Una persona tiene 15.000 € para invertir en dos tipos de acciones, A y B. El tipo A tiene un interés anual del 9%, y el tipo B, del 5%. Decide invertir, como máximo, 9.000 € en A, y como mínimo, 3.000 € en B. Además, quiere invertir en A tanto o más que en B.  a) Dibuja la región factible. b) ¿Cómo debe invertir los 15.000 € para que el beneficio sea máximo? c) ¿Cuál es ese beneficio anual máximo?

1. 11.Sea el siguiente sistema de inecuaciones. Representar gráficamente la región del plano S definido por el sistema de inecuaciones anterior y determine los vértices de dicha región.Calcular los puntos de la región S dónde la función f(x, y)=3x−2y alcanza sus valores máximos y mínimos.

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Problemas Aritméticos 4º ESO.

 

1. Para alimentar 4 caballos durante 6 días se necesitan 216 Kg de pienso. En las mismas condiciones, ¿cuántos días se podrán alimentar 10 caballos con 1260 Kg?  

2. Un libro tiene 450 páginas y cada página tiene 66 líneas de 80 caracteres, ¿cuántas páginas deberá tener el mismo libro si cada página tiene 72 líneas de 90 caracteres?

3. Para alimentar 4 caballos durante 6 días se necesitan 216 Kg de pienso. En las mismas condiciones, ¿cuántos días se podrán alimentar 10 caballos con 1260 Kg?

4. Un padre reparte entres sus dos hijos 36 golosinas de forma directamente proporcional a las edades de cada uno que son 2 y 7 años. ¿Cuántas golosinas le da a cada uno?

5. Un individuo deja 124500 euros para que sean invertidos en material de enseñanza a tres Institutos de la ciudad dónde nació. El reparto se debía hacer en partes directamente proporcionales al número de alumnos matriculados (520, 360 y 140), ¿qué cantidad le corresponde a cada uno?

6. Un artículo que vale 120 euros, ante la excesiva demanda, sube un 20%. Luego, cuando se reduce la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo que antes?

7. La leche da, por término medio, 15% de nata y ésta da 25% de mantequilla. ¿Cuánta nata se obtiene de 40 l de leche? ¿cuánta mantequilla se obtiene con 80 litros de leche?

8. Compramos unos pantalones de 38€. Nos hacen un descuento del 25% pero al precio rebajado hay que añadirle un 16% de IVA. ¿Cuál es el precio que tenemos que pagar?

9. Durante la primera cuarta parte de la liga, un equipo de fútbol ha ganado el 40% de los puntos posibles. ¿Qué porcentaje de puntos debe ganar en las tres cuartas partes restantes para que al finalizar la liga tenga el 70% de los puntos posibles?

10. Para imprimir unos folletos publicitarios, 12 impresoras han funcionado 6 horas al día y han tardado 7 días. ¿Cuántos días tardarán 3 impresoras funcionando 8 horas diarias?

11. En un concurso de baile una pareja ha ganado un premio de 1800 euros y deciden repartirlas en partes directamente proporcionales a sus edades, siendo éstas 17 y 21 años respectivamente, ¿qué cantidad le corresponde a cada uno?

12. Un padre reparte entre sus hijos 1065 euros de manera inversamente proporcional a los días que han faltado al trabajo en una empresa familiar: 3, 5 y 7 días respectivamente. Explica cómo se realiza el reparto.

13. Un depósito contiene 348 litros, que representa el 12% del total. ¿Cuál es su capacidad?

14. Una moto está etiquetada, sin IVA (16%), en 800 euros. El vendedor le dice que puede hacerle una rebaja del 20%. Calcula su coste final con porcentajes encadenados.

15. Hemos comprado a mis padres un regalo que valía 65 €. Al pagarlo nos han hecho un descuento del 4%. ¿Cuánto nos ha costado?

16. El precio de un objeto en una tienda de regalos es de 180 euros. En primer lugar reduce el precio un 12% y posteriormente aumenta un 27%. ¿Cuál es el precio final?

17. Para alimentar a 11 pollos durante 16 días hacen falta 88 kilos de pienso. ¿Cuántos kilos de pienso harán falta para alimentar a 18 pollos en 8 días?

18. En mi instituto hay 450 estudiantes. El número de alumnas representa el 52% del total. ¿Cuántas alumnas hay?

Potencias y radicales 4º ESO.

 

Repaso de Álgebra - Potencias - Radicales - Logaritmos - Ecuaciones

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Repaso Química 4° ESO: Formulación Inorgánica, Estructura del Átomo, Diagrama de Lewis

 

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